再論假設檢定

再論假設檢定：

已知 全校身高標準差 $\sigma$ = 10 cm,
呂教授根據十幾年的經驗，
假設 全校身高平均為 $\mu$ = 160,
令此假設為 $H_0$，

(1)

王同學以自己的身高 x = 170 (cm) 為由，懷疑 $H_0$ 的 真實性，提出 對立假設 $H_1$: $\mu \gt 160$，

王同學採用的「假設檢定」將基於 決策錯誤率(型1) $\alpha$ 的單邊檢定。
其決策法則如下：

若 $\overline{x} \gt \theta_0$，則 拒絕 $H_0$ ； 否則，接受 $H_0$

請根據 $\alpha$ = 20%, 10%, 5%, 2.5%, 1%, .5% 分別求出 對應的 決策臨界值 $\theta_0$ = ?


[答]：
首先，利用 Python, Scipy, Stats，或查表，
列出 信心程度、可容忍的決策錯誤率、以及對應的橫坐標 $z_\alpha$

>>>from scipy.stats import norm
>>>pL= [0.60, 0.80, 0.90, 0.95, 0.98, 0.99]
>>>thetaL= [(p, (1-p)/2, norm.interval(p)[1]) for p in pL]
>>>thetaL
[(0.60, 0.20, 0.84),
(0.80, 0.10, 1.28),
(0.90, 0.05, 1.64),
(0.95, 0.025, 1.96),
(0.98, 0.010, 2.33),
(0.99, 0.005, 2.58)]

已知 全校身高標準差 $\sigma$ = 10 cm,
所以，
$\theta_0$ = [
168.4,
172.8,
176.4
179.6
183.3
185.8]


請根據 單邊檢定之 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的前提之下，
在只有王同學本人1個人的身高資料之下，求出決策臨界值 $\theta_0$ = ?

[答]：
$\theta_0$ = 160 + 1.64*10 = 176.4

在這個臨界值以及觀察到王同學自己的身高 x = 170 (cm)之下，能否拒絕 $H_0$ ?

[答]：
170 < 176.4 ===> 不能拒絕 $H_0$

除非我們提升 可容忍的決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 20% (對應的$\theta_0$ = 160 + 0.84*10 = 168.4 )， 170 > 168.4 ===> 才能拒絕 $H_0$

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他調查了 100 位同學的身高之後求平均 $\overline{x}$ = 162 (cm) ，
這時，決策臨界值 $\theta_0$ = ?


[答]：
已知 全校身高標準差 $\sigma$ = 10 cm, n = 100,
$$\sigma_\bar{X} = \frac{10}{\sqrt{100}} = 1$$

$\theta_0$ = [
160.84,
161.28,
161.64
161.96
162.33
162.58]

在這個臨界值以及觀察到 100 位同學的平均身高 $\overline{x}$ = 162 (cm) 之後，
在 $\alpha$ = 5% 時
能否拒絕 $H_0$ ?
[答]： 可 拒絕, 因為 162 > $\theta_0$ = 161.64

若降低 $\alpha$ = 2.5% 決策臨界值 $\theta_0$ = ?
是否影響決策？ (證據不變， $\overline{x}$ = 162 (cm))
[答]：仍可 拒絕, 因為 162 > $\theta_0$ = 161.96

若再降低 $\alpha$ = 1% 決策臨界值 $\theta_0$ = ?
是否影響決策？ (證據不變， $\overline{x}$ = 162 (cm))
[答]：已不可 拒絕, 因為 162 < $\theta_0$ = 162.33

若再降低 $\alpha$ = 0.5% 決策臨界值 $\theta_0$ = ?
是否影響決策？ (證據不變， $\overline{x}$ = 162 (cm))
[答]：更不可 拒絕, 因為 162 < $\theta_0$ = 162.58

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所謂 「決策錯誤」 是指：

「型1」： 當假設為「真」，決策法則卻產生 「拒絕」，

或者

「型2」：當假設為「假」，決策法則卻產生 「接受」。

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(2)

李同學亦懷疑 $H_0$ 的 真實性，提出 對立假設 $H_2$: $\mu \ne 160$，
他調查了 100 位同學的身高之後求平均 $\overline{x}$ = 162 (cm) ，
並據此認為 $H_0$ 不妥而拒絕之，
轉而接受自己提出的對立假設 $H_2$: $\mu \ne 160$，

李同學採用的假設檢定是基於 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的雙邊檢定。
其決策法則如下：

若 $\overline{x} \gt \theta_1$ 或 $\overline{x} \lt \theta_2$，則 拒絕 $H_0$；否則，接受 $H_0$

請根據 雙邊檢定之 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的前提之下，求出決策臨界值 $\theta_1$, $\theta_2$ = ?