試寫數學

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再論假設檢定：

已知 全校身高標準差 $\sigma$ = 10 cm,
呂教授根據十幾年的經驗，
假設 全校身高平均為 $\mu$ = 160,
令此假設為 $H_0$，

(1)

王同學以自己的身高 x = 170 (cm) 為由，懷疑 $H_0$ 的 真實性，提出 對立假設 $H_1$: $\mu \gt 160$，
他調查了 100 位同學的身高之後求平均 $\overline{x}$ = 165 (cm) ，
並據此認為 $H_0$ 不妥而拒絕之，
轉而接受自己提出的對立假設 $H_1$: $\mu \gt 160$，

王同學採用的假設檢定是基於 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的單邊檢定。
其決策法則如下：

若 $\overline{x} \gt \theta_0$，則 拒絕 $H_0$；否則，接受 $H_0$

請根據 單邊檢定之 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的前提之下，求出決策臨界值 $\theta_0$ = ?

若降低 $\alpha$ = 0.5% 決策臨界值 $\theta_0$ = ?
是否影響決策？ (證據不變， $\overline{x}$ = 165 (cm))

若再降低 $\alpha$ = 0.05% 決策臨界值 $\theta_0$ = ?
是否影響決策？ (證據不變， $\overline{x}$ = 165 (cm))

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所謂 「決策錯誤」 是指：

「型1」： 當假設為「真」，決策法則卻產生 「拒絕」，

或者

「型2」：當假設為「假」，決策法則卻產生 「接受」。

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(2)

李同學亦懷疑 $H_0$ 的 真實性，提出 對立假設 $H_2$: $\mu \ne 160$，
他調查了 100 位同學的身高之後求平均 $\overline{x}$ = 165 (cm) ，
並據此認為 $H_0$ 不妥而拒絕之，
轉而接受自己提出的對立假設 $H_2$: $\mu \ne 160$，

李同學採用的假設檢定是基於 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的雙邊檢定。
其決策法則如下：

若 $\overline{x} \gt \theta_1$ 或 $\overline{x} \lt \theta_2$，則 拒絕 $H_0$；否則，接受 $H_0$

請根據 雙邊檢定之 決策錯誤率(型1) $\alpha$ = 5% 的前提之下，求出決策臨界值 $\theta_1$, $\theta_2$ = ?